Công thức cấp số cộng
Cấp số cộng là một dãy số mà trong đó hiệu giữa một số hạng bất kỳ với số hạng đứng ngay trước nó luôn là một số không đổi. Số không đổi này gọi là công sai và thường được kí hiệu là d.
Định nghĩa và ký hiệu
Số hạng tổng quát: uₙ (u với chỉ số n) biểu diễn số hạng thứ n của dãy.
Số hạng đầu: u₁ là số hạng đầu tiên của dãy.
Công sai: d là hiệu số giữa hai số hạng liên tiếp bất kỳ trong dãy: d = uₙ₊₁ - uₙ.
Các công thức cấp số cộng quan trọng
Số hạng tổng quát:
Trong đó:
- uₙ: Số hạng thứ n
- u₁: Số hạng đầu
- n: Vị trí của số hạng
- d: Công sai
Tổng n số hạng đầu:
Hoặc có thể viết dưới dạng:
Trong đó:
- Sₙ: Tổng n số hạng đầu
- n: Số lượng số hạng
- u₁: Số hạng đầu
- uₙ: Số hạng cuối cùng
Lưu ý
- Cấp số cộng giảm: Khi công sai d < 0, dãy số giảm dần.
- Cấp số cộng tăng: Khi công sai d > 0, dãy số tăng dần.
- Cấp số cộng không đổi: Khi công sai d = 0, tất cả các số hạng trong dãy đều bằng nhau.
Cấp số cộngCấp số nhân là một dãy số mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng trước nó nhân với một số không đổi q. Số q này được gọi là công bội của cấp số nhân.
Công thức tổng quát
Số hạng tổng quát: un = u1 * q^(n-1)
- un: Số hạng thứ n
- u1: Số hạng đầu tiên
- q: Công bội
- n: Vị trí của số hạng
Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên
- Sn = u1 * (1 - q^n) / (1 - q) (với q ≠ 1)
Các công thức liên quan
- Tìm công bội q: q = un / un-1
- Tìm số hạng đầu u1: u1 = un / q^(n-1)
Cấp số nhânCấp số cộng
Xác định cấp số cộng:
Cho một dãy số, kiểm tra xem dãy số đó có phải là cấp số cộng hay không bằng cách tính hiệu số giữa hai số hạng liên tiếp. Nếu hiệu số này không đổi thì dãy số là cấp số cộng.
Tìm số hạng tổng quát:
Sử dụng công thức: un=u1+(n−1)d, trong đó:
un: Số hạng thứ n
u1: Số hạng đầu
d: Công sai
Tìm số hạng khi biết tổng:
Sử dụng công thức tổng n số hạng đầu: Sn=2n(u1+un)
Tìm n khi biết tổng và số hạng đầu:
Sử dụng công thức tổng n số hạng đầu và giải phương trình bậc hai.
Bài toán liên quan đến cấp số cộng:
Tìm số hạng lớn nhất, nhỏ nhất
Tìm số hạng bằng một giá trị cho trước
Tính tổng các số hạng thỏa mãn điều kiện cho trước
Cấp số nhân
Xác định cấp số nhân:
Cho một dãy số, kiểm tra xem dãy số đó có phải là cấp số nhân hay không bằng cách tính thương của hai số hạng liên tiếp. Nếu thương này không đổi thì dãy số là cấp số nhân.
Tìm số hạng tổng quát:
Sử dụng công thức: un=u1.qn−1, trong đó:
un: Số hạng thứ n
u1: Số hạng đầu
q: Công bội
Tìm số hạng khi biết tích:
Sử dụng công thức tích n số hạng đầu.
Tìm n khi biết tích và số hạng đầu:
Sử dụng công thức tích n số hạng đầu và giải phương trình mũ.
Bài toán liên quan đến cấp số nhân:
Tìm số hạng lớn nhất, nhỏ nhất
Tìm số hạng bằng một giá trị cho trước
Tính tích các số hạng thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài toán kết hợp cấp số cộng và cấp số nhân
Dãy số vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân:
Dãy số này có dạng đặc biệt, các số hạng đều bằng nhau.
Bài toán liên quan đến cả cấp số cộng và cấp số nhân:
Tìm các số hạng của một dãy số biết rằng một số phần tử của dãy tạo thành cấp số cộng, một số phần tử khác tạo thành cấp số nhân.
Bài tập cấp số cộng cấp số nhânCấp số cộng
Bài tập 1:
Cho cấp số cộng (un) có u1=2 và công sai d=3.
a) Viết 5 số hạng đầu của cấp số cộng. b) Tính u10. c) Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
Lời giải:
a) 5 số hạng đầu là: 2, 5, 8, 11, 14. b) u10=u1+9d=2+9.3=29. c) S10=210(u1+u10)=5(2+29)=155.
Bài tập 2:
Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un) biết:
a) u5=11 và u9=23. b) u1+u5=10 và u3+u7=18.
Lời giải:
a) Ta có hệ phương trình: {u1+4d=11u1+8d=23 Giải hệ, ta được u1=3 và d=2. b) Tương tự, ta có hệ phương trình: {2u1+8d=102u1+14d=18 Giải hệ, ta được u1=1 và d=1.
Cấp số nhân
Bài tập 1:
Cho cấp số nhân (un) có u1=2 và công bội q=3.
a) Viết 5 số hạng đầu của cấp số nhân. b) Tính u8. c) Tính tích của 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
Lời giải:
a) 5 số hạng đầu là: 2, 6, 18, 54, 162. b) u8=u1.q7=2.37=4374. c) Tích của 5 số hạng đầu tiên là: 2.6.18.54.162=25.315.
Bài tập 2:
Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (un) biết:
a) u2=6 và u5=48. b) u1.u4=4 và u2.u3=3.
Lời giải:
a) Ta có hệ phương trình: {u1.q=6u1.q4=48 Giải hệ, ta được u1=2 và q=3. b) Ta có hệ phương trình: {u12.q3=4u12.q3=3 Hệ phương trình này vô nghiệm, vậy không tồn tại cấp số nhân thỏa mãn.
Bài tập tổng hợp
Bài 1:
Cho cấp số cộng (un) có u1=2, d=3 và cấp số nhân (vn) có v1=1, q=2. Tìm số hạng đầu tiên của cấp số cộng (wn) biết wn=un+vn.
Bài 2:
Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un) biết:
a) (un) là cấp số cộng có u1=3, d=2. b) (un) là cấp số nhân có u1=2, q=−3.
Trên đây là một số thông tin về công thức cấp số cộng và cấp số nhân. Hi vọng các bạn đã có cho mình thông tin hữu ích.