Công thức cấp số cộng

1. Định nghĩa về cấp số cộng

Cấp số cộng là khái niệm dùng để chỉ một dãy số hữu hạn hay vô hạn, kể từ số hạng thứ 2 mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng trước với một số d (công sai) cố định.

Tương ứng Với mọi n >=2, U_n-1 +d, n thuộc N*

Tính chất cấp số cộng

2. Tính chất của cấp số cộng

Nếu (Un) là cấp số cộng kể từ số hạng thứ 2, thì mỗi số hạng (trừ số hạng cuối cùng với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của 2 số hạng đứng trước và đứng sau nó trong dãy số. Được biểu thị là
U_k =(U_k-1 + U_k+1)/ 2

3. Tổng hợp các Công thức cấp số cộng lớp 11

Trong chương trình đại số THPT, các em sẽ được học về cấp số cộng và ứng dụng của công thức này. Dưới đây, chung tôi đã tổng hợp cho các em 5 công thức cấp số cộng cơ bản và sử dụng phổ biến nhất,

3.1. Công thức cấp số cộng theo định nghĩa 

Theo định nghĩa, xét Un là cấp số cộng với công dai d thì khi đó ta có công thức:

U_n = U_n-1 + d (n>=2)

3.2. Công thức cấp số cộng dạng tổng quát

Công thức tính số hạng tổng quát của cấp số cộng bằng cách dùng số hạng đầu và công sai d:

U_n= U₁ + (n-1)d

3.3. Công thức cấp số cộng thông qua 2 số liền kề

Công thức này được dựa vào tính chất của cấp số cộng. Với cấp số cộng Un có số hạng liền trước là Un-1 và số hạng liên sau là Un+1:

U_n = (U_n-1 + U_n+1)/ 2 <=> Un+1 + U_n-1 = 2U_{n
Tham khảo:} Tiếng anh lớp 5 unit 5 lesson 3

3.4. Công thức cấp số liên hệ giữa 2 số bất kỳ

U_n =  U_m + (n-m) d

3.5. Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng (tổng riêng thứ n) thông qua số hạng đầu và số hạng cuối thứ n:

S_n = U₁+ U₂+ U₃ + ...+ U_n = (n (U₁+ U_n))/ 2 với n>= 1

Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên (tổng riêng thứ n) thông qua số hạng đầu và công sai

S_n= nU₁ + d(n.(n-1)/2) (n>=2)

Công thức tính tổng các số hạng trong cấp số cộng

4. Ứng dụng của cấp số cộng trong cuộc sống

Cấp số cộng là một khái niệm toán học cơ bản nhưng lại có rất nhiều ứng dụng trong cuộc sống hàng ngày. Dưới đây là một số ví dụ về các ứng dụng của cấp số cộng:

Tài chính cá nhân: Cấp số cộng được sử dụng để tính toán các loại chi phí định kỳ như tiền thuê nhà, tiền điện, tiền nước, tiền mua thực phẩm. Ví dụ, nếu mỗi tháng bạn phải trả 500.000 đồng cho tiền thuê nhà, số tiền này tăng thêm mỗi tháng, bạn có thể tính tổng số tiền đã trả trong nhiều tháng liên tiếp.

Định lượng: Cấp số cộng được sử dụng để dự báo sự gia tăng của các yếu tố, như sản lượng sản phẩm hoặc số lượng khách hàng. Ví dụ, một công ty có thể sử dụng cấp số cộng để ước tính số lượng sản phẩm sẽ bán được trong các tháng tiếp theo dựa trên xu hướng bán hàng hiện tại.

Giao thông và thời gian: Trong giao thông đường bộ, mô hình cấp số cộng được sử dụng để dự đoán thời gian cần thiết để di chuyển từ điểm A đến điểm B. Ví dụ, nếu biết rằng mỗi phút bạn đi 5 km/h  nhanh hơn so với tốc độ trung bình, bạn có thể ước tính được thời gian đến điểm đến dựa trên khoảng cách cụ thể và tốc độ hiện tại.

5. Bài tập áp cấp số cộng

Bài 1: Áp dụng định nghĩa công thức cấp số cộng

Dãy số 2,4,6,8,10 có phải là 1 cấp số cộng không?

Lời giải:

Dãy số 2,4,6,8,10 là 1 cấp số cộng bởi vì:

4 = 2 + 2

6 = 4 + 2

8= 6 + 2

10 = 8 + 2

Đây là cấp số cộng có công sai d = 1 với số hạng đầu U1 = 2

Bài 2: Áp dụng công thức tìm số hạng tổng quát

Cho cấp số cộng (Un) có U1 = 4 , công sai d = 3. Tính số hạng tổng quát?

Lời giải:

Theo công thức tổng quát ta có:

Un = U1 + (n-1)d = 4 + (n-1).3 = 3n + 1

Bài 3 : Tìm một số hạng bất kỳ

Cho CSC (Un) với điều kiện d = 5, U1 = -2. Tính S10

Lời giải:

Ta có:

S10 = 10U1 + (10 (10-1).d)/2

S10 = 10 . (-2) + (10.9.5)/2

S10 = 205

Bài 4: Tìm công sai

Cho CSC (Un) cố tổng 100 số hạng đầu tiên là 25050, U1 = 2. Công sai d của cấp số cộng là bao nhiêu?

Lời giải:

Ta có S100= 25050 => (U1 + Un). n/2 = 25050 

<=>  (2 + U100). 100/2= 25050

<=> U100 = 499

Vậy U100 = U1 + 99d => d = (U100 - U1)/ 99 => d = 5

Bên cạnh đó, còn một số dạng bài khác , các em có thể tham khảo thêm.

Ví dụ áp dụng công thức giải cấp số cộng