Định lý pytago
Định lý Pytago (hay còn gọi là Định lý Pitago) là một trong những định lý quan trọng nhất của hình học, được đặt theo tên của nhà toán học Hy Lạp cổ đại Pythagoras. Định lý này mô tả mối quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác vuông – tam giác có một góc vuông 90 độ.
Phát biểu của định lý :
Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
Công thức tổng quát:
c² =a² +b²
Trong đó:
a, b là hai cạnh góc vuông.
c là cạnh huyền – cạnh đối diện với góc vuông.
Ví dụ minh họa:
Nếu một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông lần lượt là 3 cm và 4 cm, thì cạnh huyền được tính như sau:
c² =3² +4² =9+16=25
=> c=√ 25=5 cm
Vậy cạnh huyền của tam giác đó dài 5 cm.
Định lý Pytago là nền tảng trong nhiều lĩnh vực Toán học và ứng dụng rộng rãi trong đo đạc, xây dựng, vật lý, và kỹ thuật.
PythagorasCó rất nhiều cách chứng minh định lý , từ hình học đến đại số. Dưới đây là 3 phương pháp phổ biến và dễ hiểu nhất mà học sinh thường được học ở chương trình trung học.
Chứng minh bằng diện tích hình vuông
Giả sử ta có một tam giác vuông ABC, với cạnh huyền BC=c, hai cạnh góc vuông là AB=a, AC=b.
Bây giờ, ta dựng một hình vuông lớn có cạnh là (a + b). Bên trong hình vuông đó, ta đặt 4 tam giác vuông giống hệt nhau và một hình vuông nhỏ ở giữa có cạnh là c.
Tổng diện tích của hình vuông lớn là:
(a + b)² =a² +2ab+b²
Tổng diện tích của 4 tam giác vuông là:
4 × (1/2 × a × b)=2ab
Diện tích hình vuông nhỏ (ở giữa) là:
c²
Theo cách sắp xếp hình học, ta có:
Diện tích hình vuông lớn=Diện tích hình vuông nhỏ+Diện tích 4 tam giác
=> a² +2ab+b² =c² +2ab
=> c² =a² +b²
Vậy ta đã chứng minh được định lý .
Chứng minh bằng đại số
Giả sử có tam giác vuông với các cạnh a, b và c.
Theo công thức cos trong tam giác:
c² =a² +b² - 2ab × cos(C)
Vì góc C là 90 độ, nên cos(90° )=0
=> c² =a² +b² - 0
=> c² =a² +b²
Kết luận: Định lý đúng với mọi tam giác vuông.
Định lý PythagorasChứng minh bằng hình học tương đồng
Vẽ đường cao từ đỉnh góc vuông đến cạnh huyền, chia tam giác vuông ban đầu thành hai tam giác nhỏ.
Cả hai tam giác nhỏ đều tương đồng với tam giác ban đầu.
Dựa vào tính chất tam giác đồng dạng, ta có:
a² =c × m
b² =c × n
(m và n là hai đoạn mà đường cao chia cạnh huyền c thành)
Cộng hai phương trình:
a² +b² =c × (m + n)=c × c=c²
Vậy, ta chứng minh được c² =a² +b² .
Định lý không chỉ là một công cụ lý thuyết, mà còn có ứng dụng rất rộng trong thực tế và nhiều lĩnh vực khác nhau.
Tính độ dài cạnh trong tam giác vuông
Khi biết hai cạnh của tam giác vuông, ta có thể dễ dàng tính cạnh còn lại bằng công thức:
Nếu biết a và b → c=√ (a² + b² )
Nếu biết c và a → b=√ (c² - a² )
Ví dụ:
Một chiếc thang tựa vào tường cao 3 m, khoảng cách chân thang tới tường là 4 m. Hỏi thang dài bao nhiêu?
=> c=√ (3² + 4² )=√ 25=5 m
Ứng dụng trong tọa độ và hình học phẳng
Định lý được sử dụng để tính khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng tọa độ:
Giả sử có hai điểm A(x1, y1) và B(x2, y2), khoảng cách AB được tính theo công thức:
AB=√ [(x2 - x1)² +(y2 - y1)² ]
Đây chính là ứng dụng trực tiếp của định lý trong hệ trục tọa độ Oxy.
Ứng dụng trong xây dựng và kỹ thuật
Trong lĩnh vực xây dựng, người ta dùng định lý để:
Đo khoảng cách, chiều cao các công trình khi không thể đo trực tiếp.
Kiểm tra độ vuông góc của tường, cột, mái nhà.
Xác định độ dốc của mái hoặc độ dài dây chéo trong khung thép.
Ví dụ: Khi muốn đảm bảo góc vuông trong thi công, người ta thường dùng tam giác 3 – 4 – 5 (vì 3² + 4² =5² ) để đo và kiểm tra trực tiếp tại công trình.
Ứng dụng trong vật lý và công nghệ
Định lý giúp tính toán các đại lượng trong vật lý như:
Độ lớn của hợp lực trong hai lực vuông góc.
Độ dài đường chéo màn hình (máy tính, TV).
Khoảng cách giữa hai điểm trong không gian 3D (đồ họa máy tính, kỹ thuật cơ khí).
Ví dụ:
Một màn hình TV có chiều rộng 48 cm, chiều cao 27 cm, thì độ dài đường chéo là:
√ (48² + 27² )=√ (2304 + 729)=√ 3033 ≈ 55 cm
→ Đây là kích thước màn hình “ 55 inch” thường thấy.
Học sinh trao đổi sau giờ họcKhi học định lý Pytago, học sinh thường gặp 3 dạng bài chính sau:
Dạng 1: Tính cạnh huyền hoặc cạnh góc vuông
Ví dụ 1:
Cho tam giác vuông có cạnh góc vuông a=6 cm, b=8 cm. Tính cạnh huyền c.
→ c=√ (6² + 8² )=√ (36 + 64)=√ 100=10 cm.
Ví dụ 2:
Cho tam giác vuông có cạnh huyền c=13 cm, cạnh góc vuông a=5 cm. Tính cạnh còn lại.
→ b=√ (13² - 5² )=√ (169 - 25)=√ 144=12 cm.
Dạng 2: Bài toán thực tế có ứng dụng định lý
Ví dụ:
Một cây cột điện cao 10 m bị gãy đổ, đầu cột chạm đất cách gốc cột 6 m. Hỏi đoạn cột còn lại sau khi gãy là bao nhiêu?
→ Đoạn còn lại chính là cạnh huyền của tam giác vuông có hai cạnh 6 m và phần gãy h.
Giả sử phần còn lại là x, ta có:
x² =6² +h² =10² → h² =100 - 36=64 → h=8 m.
=> Cột bị gãy ở độ cao 8 m.
Dạng 3: Nhận biết tam giác vuông
Một tam giác có ba cạnh a, b, c. Nếu a² +b² =c² , thì tam giác đó là tam giác vuông.
Ví dụ:
Tam giác có các cạnh 5 cm, 12 cm, 13 cm.
Ta có: 5² +12² =25+144=169=13²
→ Tam giác này là tam giác vuông.
Định lý là một định lý cơ bản, quan trọng và mang tính ứng dụng cao trong Toán học và đời sống.
Nắm vững định lý này giúp bạn:
Hiểu rõ mối quan hệ giữa các cạnh trong tam giác vuông.
Giải nhanh các bài toán hình học, vật lý, kỹ thuật.
Ứng dụng thực tế vào đo đạc, xây dựng, thiết kế.
Với công thức đơn giản c² =a² +b² , định lý đã trở thành nền tảng của nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật và vẫn giữ nguyên giá trị suốt hàng nghìn năm qua.